Resolución de ejercicios

            En esta entrada, vamos a resolver dos ejercicios propuestos en clase. Definiendo para cada caso tanto el modelo interno como el externo.


 Ejercicio 1
 
   Se trata de un circuito eléctrico de corriente continua compuesto por una resistencia y un condensador en serie. Se pide hallar la caída de tensión en el condensador v(t) mediante modelo externo e interno dados los valores de la tensión inicial, la resistencia y la capacidad del condensador.

       Dadas C, R, U(t) y I(t) hemos de hallar V(t)

• Aplicamos la ley de Ohm:

U(t)-V(t)=R * I(t)

• Ahora utilizamos una ecuación para el condensador:

Esta ecuación relaciona potencial con capacidad.

• Ahora aplicamos Laplace a ambas partes de la ecuación:

 

 De esta forma hemos hallado la función de transferencia, que es la solución de la Transformada.

• Para hallar la solución debemos aplicar la transformación inversa a la funcion de transferencia:

• Finalmente utilizamos el valor 1/RC = a

      Ejercicio 2

      Tenemos un cuerpo sobre un plano horizontal sujeto a una pared vertical mediante un muelle y un amortiguador. De dicho cuerpo tira una fuerza u hacia la derecha. Se pide dado los valores de la constante k del muelle, b del amortiguador, la masa del cuerpo y las condiciones iniciales hallar el desplazamiento del cuerpo x(t) mediante modelo externo e interno.

            Hay que hallar la función de posición con respecto al tiempo del cuerpo de masa m respecto de la pared, o lo que es lo mismo, hallar x(t)

            Para ello utilizaremos la segunda ley de Newton (F = m*a), para hacer esto necesitamos calcular el sumatorio de fuerzas que actuan sobre el cuerpo:

             f(t)-fb-fk = m * a

            Siendo fb=b*x´  y fk=k*x´

     Ahora aplicaremos Laplace a ambos lados de la ecuación resultante al introducir estos valores para fc y fk:

   Ahora tenemos que aplicar la inversa de Laplace para fnalizar el ejercicio, esta operación puede realizarse tanto con matlab como por metodos algebraicos.

     Resolución:

 

Una vez obtenido el resultado, hay que dar valores a las variables para obtener una gráfica. Este proceso puede hacerse a la inversa, introduciendo primero los datos y finalmente resolviendo el ejercicio.


     Hay una 2º opcion para resolver el ejercicio, mediante modelo interno:

Ha continuación aplicamos un cambio de variable y posteriormente despejamos la m aplicando los cambios a nuestras ecuaciones:

       

  
  Ahora colocamos los resultados en forma matricial y utilizamos matlab realizar las gráficas

                Introducimos esto en matlab y damos valores a todas las letras:

       

       Finalmente calculamos la gráfica mediante la funcion IMPULSE